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問題(目標90秒/210秒)
正の整数A、B、Cについて、次のことがわかっている。 A×B=15552 このとき、Aはいくつか。 1 72 |
実戦の考え方
まともに考えても計算は無理そうなので、抜け道を考えます。
(公務員試験でこのような大きな数字が出ていたら、
自力計算以外何も解く手段がないということは考えられません。)
3つの式が掛け算ということに注目して、3つの数字を素因数分解してみます。
15552=2^6×3^5
10368=2^7×3^4
31104=2^7×3^5
全て2の○乗×3の△乗という形になりました。これがポイントですね。
つまり、AもBもCも全て2の□乗×3の☆乗の形となるはずです。
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掛け算の答えが2の○乗×3の△乗となっているので、
掛け算の元を素因数分解しても2と3以外は出てこないはずなのです。
また、2^2×2^3=2^5(4×8=32)となるように、
○の△乗×○の□乗=○の(△+□)乗 【○^△×○^□=○^(△+□)、指数の法則】
になります。
この法則は指数(○乗のこと)の計算に使えるので覚えておきましょう。
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ここで、
A=2^a×3^x
B=2^b×3^y
C=2^c×3^z
と置ける(はず)ので、
a+b=6 x+y=5
b+c=7 y+z=4
c+a=7 z+x=5
となります。(上の素因数分解の答えを利用。)
これをさくっと解いて、a=3、x=3
A=2^a×3^xなので、これを当てはめると
A=2×2×2×3×3×3=216
正解、3
解説
数がかなり大きいので、掛け算の問題は素因数分解で楽になる、ということに気付かないとかなり厳しい問題だと思います。指数の法則はそんなに難しくはないのですが、慣れていないと使い方にとまどってしまうのでしょう。この問題では、2と3を別々に考えて方程式a+b=6などと作れるかもポイントになってきます。
a+b=6 x+y=5
b+c=7 y+z=4
c+a=7 z+x=5
これの解き方は知っている人も多いかもしれませんが、一応左側の3式を例にとって説明します。
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3つの全部の式を足すと
2a+2b+2c=20、これを2で割って
a+b+c=10…*
*式からa+b=6など3式を引けば、c=4,a=3,b=3がそれぞれ出てきます。
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ちなみにこの場合はこのような解き方をしなくても、数が小さいので何となく数字を当てはめれば答えは出せます。
Aさえ求めれば良いので、aとxだけわかれば正答を求められます。
約数(素因数分解)の問題と書くとわかりやすくなるので、この問題では試しにタイトルを伏せてみました。