組み合わせ
問題（目標75秒/240秒）
| 中が見えない箱の中にボールが１０個入っており、このボールには１から１０までの数が それぞれ１つずつ書いてある。いま、この箱の中から順番に４回ボールを取り出すとき、 ボールに書かれた数字が１回目＜２回目＜３回目＜４回目となる確率はいくらか。 ただし、１度出したボールは箱の中に戻さないものとし、他のボールと同じ数字が書いてある ボールはない。 １ 1/12 |
実戦の考え方（効率の悪すぎる解き方をしてしまいました(汗)
１回目に１を引く確率が1/10、２回目に２を引く確率が…と全ての確率を掛け算で考えたら割にあわなさそうなので
確率の原点（求める組み合わせ/全ての組み合わせ）を考えます。
ということで、数字が１回目＜２回目＜３回目＜４回目になる組み合わせを考えてみます。
数字の小さい方（？）からしらみつぶしに考えてみましょう。
４回の数字が
（１，２，３、○）となる場合の数…７個（○に４〜１０）
（１，２，４、○）となる場合の数…６個（○に５〜１０）
（１，２，５、○）以下略…５個
（１，２，６、○）…４個
中略
（１，２，９、○）…１個（○には１０のみ）
つまり、（１，２、？、？）と引く組み合わせは1+2+3+4+5+6+7で28通りあります。
次に、
（１，３，４、○）…６個（○に５〜１０）
（１，３，５、○）…５個（○に６〜１０）
中略
（１，３，９、○）…１個
（１，３、？、？）の組み合わせは1+2+3+4+5+6で21通りです。
法則が見えたので、もういちいち数えません。
（１，４、？、？）…15通り（1+2+3+4+5）
（１，５、？、？）…10通り（1+2+3+4）
中略
（１，８、？、？）…１通り（１，８，９，１０の取り方のみ）
これで、最初に１を引いた場合の（条件にあう）組み合わせは
1+3+6+10+15+21+28で84通りとわかります。
次に、最初に２を引くパターンをしらみつぶしで数えます。
（２、３、？、？）…21通り（1+2+3+4+5+6、上の応用）
（２，４、？、？）…15通り（1+2+3+4+5)
中略
（２，８、？、？）…1通り
最初に２を引いた場合は、
1+3+6+10+15+21で56通りとわかります。
続きはおおよそ予想通りです。
最初に３を引いた場合は35通り（1+3+6+10+15あるいは56-21）
最初に４を引いた場合は20通り（1+3+6+10あるいは35-15）
最初に５を引いた場合は10通り（1+3+6）
最初に６を引いた場合は４通り（1+3）
最初に７を引いた場合は１通り（７，８，９，１０の順で取るしかありません）
これで、１回目＜２回目＜３回目＜４回目となる組み合わせは
1+4+10+20+35+56+84で210通りとわかります。
けっこうワンパターンで終わったのでここまで普通に計算してしまいました。
ボールを４回取る組み合わせは全部で１０Ｐ４＝10×９×８×７＝５０４０通りなので、
求める確率は210/5040＝1/24となります。
正解、５
解説
もっといい解き方がある人は教えてください(笑)
*追記*（05/02/10）
こじろさんより、以下の書き込みをいただきました。
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まず10個のボールからある4つのボールを選ぶ確率は１。
そして選んだ4つの数字の並べ方は全部で4Ｐ4＝24とおり。
4つの数字の並べ方のうち、1回目＞2回目＞3回目＞4回目となる並べ方は1とおり。
だから答えは1/24。
最初のボールが10個でなくても同じ答えになるような気がします・・・
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全くその通りでした(汗)
しいて言えば最初の行、「確率は１」はわかりにくいかもしれませんが、
要するに取ったボール４つの並べ替え確率と同じになるようです。
以下、どうでもいい内容となります(笑)
（以前の解説部分です。一応恥さらしに取っておきます(汗)）
一応、数列の和の公式を使えば
「1+2+3+4+…+n」の答えはn(n+1)÷2に（ｎ＝７のとき２８）
「1+3+6+10+…+n個目」の答えはn(n+1)(n+2)÷6に（ｎ＝７のとき８４）
「1+4+10+20+45+…n個目」の答えはn(n+1)(n+2)(n+3)÷24に（ｎ＝７のとき２１０）
となることはわかりますが、この式そのものを覚えている人はほとんどいないでしょう（使える範囲が狭いので）。問題を解いている途中にこの式を求めることも普通にできるのですが、この問題でははｎが7個目までなのでｎを使って上の式を導くより自力で計算した方が早いでしょう。（答えの確認のためならありかもしれません。ただしこの問題の場合、選択肢を見て一致する数字があれば自信が持てそうです。）
結果的には確率の問題ですが、内容はほとんど組み合わせの問題でしょう。
９問目と１０問目は何もない状態（元ネタなし）から問題を作ってみたつもりですが、冷静に見直してみるとやっぱりどこかで見たことあるような気もしますね。正解がわからない不安があるので、やはり問題をアレンジする方が楽でした。