整数（２）
問題（目標150秒/270秒）
| あるサークルが大学祭で屋台を出した。売ったのものは、いそべ焼き（130円）、タイヤキ（100円）、ジュース（50円）の３種類である。この日の売上の合計は10,050円であり、ジュースが売れた数はタイヤキの半分より２つ少なく、販売数はタイヤキ＞いそべ焼き＞ジュースであった。ジュース売れた数として、正しいのはどれか。 １ ２１個 |
実戦の考え方
最初から選択肢を当てはめても大変そうなので、式を立てます。
いそべ焼きをｘ、タイヤキをｙ、ジュースをｚとしたとき、合計金額より
１３０ｘ＋１００ｙ＋５０ｚ＝１００５０ 10で割って
１３ｘ＋１０ｙ＋５ｚ＝１００５…（１）
売れた数の比較より
ｚ＝ｙ／２−２ ｙについて書くと
ｙ＝２ｚ＋４…（２）
（２）を（１）に代入すると
１３ｘ＋１０（２ｚ＋４）＋５ｚ＝１００５
１３ｘ＋２５ｚ＝９６５
これをｘについて解きなおすと （注：ｚについて解くのが自然な発想だが、ここではｚを求めるためあえてｘを選ぶ。）
ｘ＝（９６５−２５ｚ）／１３
ｘ＝７４＋（３−２５ｚ）／１３
ここで、ｘが整数となるためには２５ｙ−３が１３の倍数でなければならないので、
選択肢を当てはめてみます。
ｚが２１のとき…２５ｚ−３＝５２２ （２５×２１は、２５×２０＋２５と計算すると楽！）
５２２を１３で割ると、４０あまり２
ｚが２増えると余りが２減るはずなので、
ｚが２３のとき、ｘも整数となります。
ｚが２５，２７，２９のときは、割り切れません（あまりが１１，９，７となるはず）。
よって、答えは２．しかあり得なくなります。
正解、２
解説
途中までは、ごく自然な解き方です。整数解を求める時は、分数の形にして倍数（この場合、１３の倍数探し）を利用します。うまいｚがすぐに見つからなければ、この考え方のようにどんどん選択肢を利用していきます。念のために書きますが、「３−２５ｚが１３の倍数」であることと、「２５ｚ−３が１３の倍数」であることは同じです。
販売数の大小については、式に組み込むのは時間がかかりやすいので、最後の絞り込みの時に使えば大丈夫なことが多いです。この考え方でも後回しにしていたら、使わずに答えが１つに絞れてしまいました。
＞ｚが２増えると余りが２減るはず
ここは少し疑問に思われるかもしれません。簡単に説明します。
ｚが１増えるということは、２５ｚ−３が２５増えることを意味します。
２５ｚ−３が２５増えたら、１３で割ったときのあまりが１減る（もしくは、１２増える）のは、
ちょっと考えてみればそんなに難しいことでもないはずです。
２５÷１３＝１あまり１２ ということに由来しています。あまりが１２出る＝あまりが１減る、です。
ｚが２増えたら、あまりが１１増える（２減る）のも当然（？）のことといえます。
１回考え方を知ったらどこかで使えるかもしれませんので、ここで紹介しておきました。