さて、けっこう面倒くさそうな条件の問題があったとします。
ここで、比例関係とか不等式を持ち出してはいけません。
数字が小さければ、全部自力で数えてしまった方が速いのが普通です。
例えば、５円玉、１０円玉、５０円玉が１０枚あって○○円を作る、という感じの問題です。

逆に、数字が大きくてそのままでは計算できないような問題の場合は、
ほとんどの場合抜け道というか計算を簡単にする方法があります。
最も基本的なものでは、５の○乗を９で割った余りを求めよ、とかいうやつですね。
５の１０乗とか計算するのはムリです。

要するに、数字が極端に小さかったり大きかったりする時で
考え方を変えてみましょうということです。
何も、数的推理に限ったことではありませんが。

このぐらいは、無意識的にやっている人も多そうですが、
とにかく方程式や不等式で解いている人は、一度自分のやり方を見直すと良いかもしれません。

(na+mb)/(n+m)とかいうような公式を覚えている人はもう当然答えを出せるわけですが、
自分は覚えていません。そもそも上の式があっているかわかりません（ぉぃ

ならどうやってやるかといえば、簡単です。
１０％と２０％の食塩水の差は１０％です。
２：３に分ける時は、この１０％を、２＋３＝５（比の数の合計）で割ります（１０％÷５＝２％）
最後に、２％×２（比の左の数字）＝４％を１０％（食塩水の左側の濃度）に足します。
答えは１４％になります。

別の場合をやります。１２％と２６％の食塩水を５：２で混ぜます。
２６−１２＝１４（％）で、これを２＋５＝７で割ると２％です。
２％×５＝１０％、１２％＋１０％＝２２％。はいできあがり。慣れれば一瞬です。

根本的には公式と変わらないようなんですが、
分数なんて面倒だーという自分のような人間にはありがたい計算法でした。
最後の足し算は、濃度の少なかった方（２６％でなく１２％）から足します。

混ぜた後の濃度がわかっている場合は、また別の計算法が使えます。次回やり方を書きます。

濃度１０％の食塩水と濃度？％の食塩水を３：４で混ぜたら濃度が１６％になりました。
さて？に入る数字はいくつでしょう。

頭のいい人ならもうわかったかもしれませんが、このような問題の場合はさっきとは逆に考えます。
まず１６％から１０％を引いて、何％増えた（減った）かを調べます。６％です。
これを３（比の左、つまり１０％側の数字）で割ります。２％になります。
２％×（３＋４）＝１４％。これを１０％とあわせると２４％になります。これが？の答えです。

濃度？％と濃度８％の食塩水を２：３でまぜたら２０％になりました。？を求めます。
２０％−８％＝１２％、１２％÷３＝４％、４％×５（２＋３）＝２０％
最後に、２０％と８％を足して２８％です。うわしょっぱい！

濃度が小さくなる場合は、最後を引き算にします。
２８％と？％を２：３で混ぜて２０％になった時の？を求めてみましょう（上の問題と同じ数字です）。

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こちらの計算はは慣れないとちょっと迷いやすいかもしれません。
あっているか確認するためにはそう、また食塩を混ぜて
きちんと問題文の濃度と合っているか確かめることができるのです。
（１つめの例の場合は、１０％と２４％を３：４で混ぜてみると…きちんと１６％になりますね！）

これらの問題は基本です。もたもた計算していると実戦問題でおいていかれます。
公式を使っても構いませんが、とにかく基本はマスターしておきましょう。

数列には種類があって、１つ進むごとに一定数数が増えたり、減ったり、掛けたり、割ったり、
あるいは隣との差が一定の割合で変わったり、さらには全然違う法則で数字が動いていったりします。
はっきり言って怖いです。
数が小さかったりわかりやすい数列だったらまだしも、普通は数が多すぎて手におえません。

…ですが、規則のある数列はほとんどがわかりやすい１（２）つの公式で計算できます。
本には何やら等差数列の和とか等比数列の和とか、いろいろ公式が出てきます。
実はこれ、ほとんど全部いりません。公務員試験の問題では。
ｄとかa１とかもう古いです（言いすぎ）。

ただし、「一般項」というものを知らないとこの公式は使えません。
ちょっと難しそうなコトバですが、使うのはそれほど難しくありません。
要は意味を知っていればいいのです。

そんな一般項については、また次回説明します。

数列（１）：３，５，７，９，１１・・・
数列（２）：１２，７，２，-３，-8・・・
数列（３）：３，６，１２，２４，４８・・・
数列（４）：１，２，４，７，１１，１６，２２，２９・・・

まず数列（１）ですが、この数列の規則がわからない人はまずいないでしょう。
最初の数字が３で、あとは２ずつプラスされていきます。

では、この数列の一般項を求めてみましょう　（…え？
「手順１．」数字は２ずつ増えているので、2ｎ＋○です。
「手順２．」この式のｎに１を入れたとき、この答えが３になるようにします。
「手順３．」２×１＋○＝３なので、○には１が入ります。

つまり、この数列の一般項は２ｎ＋１になります。

意味が全然わからない人はいるかもしれませんが、
とりあえず一般項はこうやって求めます（こういう並びの数列の場合。）

この式の意味は、この数列のｎ番目（例えば５番目）を求めるには、
２ｎ＋１のｎに５を代入すれば良いということなのです。２×５＋１＝１１で、実際の並びとあっています。
ｎが小さかったり数列が簡単ならわざわざこんな式にしなくてもよいのですが、
ちょっと問題が複雑になったりしたとき、もっと言ってしまえば
数列（４）の１５番目を求めたりする時に、この一般項がわかると便利なのです。

さて、数列（２）の一般項ですが、これは引き算（５ずつマイナス）なので
数列（１）と同じやり方で一般項がわかります。
５ずつマイナスなので、−５ｎ＋○
ｎに１を入れたとき答えが１２になれば良いので、○は１７
一般項は−５ｎ＋１７です。わかりましたでしょうか。
この数列の11番目の数字は、（−５）×１１＋１７で−３８です。

ちなみに○がマイナスの数になったら△ｎ−○とかの形にでもしてやればいいです。

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数列（３）は、掛け算していくタイプです。
ここでハッキリ言ってしまうと、このタイプの数列はあまり公務員試験で使えません。
さっさと飛ばしちゃって大丈夫です。たまに数学とかで出ちゃったりもしますが。無限に足したり。
一般項だけ書いてしまえば、３×２＾(n-1)　（３かける２の（n-1）乗、の意味です）になります。

さて、最後の数列（４）は公務員試験で使いやすく、けっこう詰まりやすい問題だと思います。
参考書には、階差数列でAn＋B1＋B2＋…とかやたらわかりにくそうな公式があったんですが、
式じたいを無理に覚える必要はありません（もちろん覚えてもいいです）。

ここで、例の公式が出てくるわけです。
最初はちょっと難しいわけですが、使い方に慣れればさくっと問題が解けるようになります。
その式については、また次回に。本当は裏技でも何でもないんですが。まあ計算は楽になります。

ちなみに一般項などの考え方は、数列がそのまま問題に表されていなくても
数字を正方形にぐるぐる並べていく問題や碁石並べの問題にも応用できます。
上から8番目左から9番目の数字はどれか、とかいうやつですね。
最重要ではありませんが、慣れておくとなにかと便利です。